Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，四邊形為直角梯形，∥，，，，，為的中點．

（1）求證:∥平面；

（2）若點在線段上，滿足，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證法1：要證明線面平行，轉化為證明線線平行，取中點，連接,，證明；證法2：要證明線面平行轉化為證明面面平行，取中點，連接,，轉化為平面平面；（2）取中點,連接、,易得，平面，以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用公式求線面角的正弦值.

（Ⅰ）證法1：取中點，連接,.

為中點，,且.

又,且,,且，

四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面，

平面；

證法2： 取中點，連接,.

為中點，，

又平面，平面，

平面.

又且,

四邊形為平行四邊形，,

又平面，平面，

平面，又,

平面平面，又平面,

平面；

（Ⅱ）取中點,連接、，.

,.

又平面平面,且平面平面，

平面，平面，

以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、

軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

,，

，，

,

設平面的法向量，

則，，

得，取,則，

設與平面所成的角為，

，

與平面所成的角的正弦值為.