【題目】如圖,邊長為4的正方形所在平面與正三角形所在平面互相垂直,,分別為,的中點.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】
(I)根據(jù)題意,利用線面垂直、面面垂直的判定定理與面面垂直的性質定理證明;
(Ⅱ)根據(jù)題意,分別以,,所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,用向量法求解.
(Ⅰ)證明:設直線,交于點,
∵,,
∴.
∴,則.
故,∴.
∵為的中點,為正三角形,
∴.
又平面平面,平面平面,
∴平面,
∴,
∵,
∴平面,
又平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)設的中點為,連接.∵平面平面,∴,,由(Ⅰ)知,.
以點為原點,分別以,,所在直線為,,軸,建立空間直角坐標系如圖所示,
則,,,,.
設平面的法向量為,又,,
∴,得取,得.
設直線與平面所成角為,,
∴,
故直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】如圖,四邊形是邊長為2的正方形.平面,且.
(1)求證:平面平面.
(2)線段上是否存在一點,使三棱錐的高若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】為解決城市的擁堵問題,某城市準備對現(xiàn)有的一條穿城公路MON進行分流,已知穿城公路MON自西向東到達城市中心點O后轉向東北方向(即).現(xiàn)準備修建一條城市高架道路L,L在MO上設一出入口A,在ON上設一出入口B.假設高架道路L在AB部分為直線段,且要求市中心O與AB的距離為10km.
(1)求兩站點A,B之間距離的最小值;
(2)公路MO段上距離市中心O30km處有一古建筑群C,為保護古建筑群,設立一個以C為圓心,5km為半徑的圓形保護區(qū).則如何在古建筑群C和市中心O之間設計出入口A,才能使高架道路L及其延伸段不經過保護區(qū)(不包括臨界狀態(tài))?
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【題目】已知橢圓的中心為原點,左焦點為,離心率為,不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點.
(1)若為線段的中點,求直線的方程.
(2)求點是直線上一點,點在橢圓上,且滿足,設直線與直線的斜率分別為,問:是否為定值?若是,請求出的值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若有兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若,求在區(qū)間上的最小值.
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【題目】已知拋物線過點則下列結論正確的是( )
A.點P到拋物線焦點的距離為
B.過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q,則△OPQ的面積為
C.過點P與拋物線相切的直線方程為
D.過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M,N點則直線MN的斜率為定值
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)對a∈(0,1),是否存在實數(shù)λ,,使成立,若存在,求λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點,線段的中點為,且直線與直線的斜率之積為.若直線與直線交于點,與直線交于點,且點為直線上一點.
(1)求的軌跡方程;
(2)若為橢圓的上頂點,直線與軸交點,記表示面積,求的最大值.
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【題目】2020年春季,某出租汽車公同決定更換一批新的小汽車以代替原來報廢的出租車,現(xiàn)有A,B兩款車型,根據(jù)以這往這兩種租車車型的數(shù)據(jù),得到兩款出租車型使用壽命頻數(shù)表如表:
(1)填寫下表,并判斷是否有99%的把握認為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關?
(2)司機師傅小李準備在一輛開了4年的A型車和一輛開了4年的B型車中選擇,為了盡最大可能實現(xiàn)3年內(含3年)不換車,試通過計算說明,他應如何選擇.
參考公式:,其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù):
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