Question

8．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）≤|a-2|的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為4，再根據(jù)|a-2|≥4，求得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|，∴不等式f（x）≤6 等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+2x-3≤6}\end{array}\right.$③．
解①求得-1≤x＜-$\frac{1}{2}$；解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$；解③求得 $\frac{3}{2}$＜x≤2．
綜合可得，原不等式的解集為[-1，2]．
（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，則f（x）的最小值為4．
若關于x的不等式f（x）≤|a-2|的解集非空，則|a-2|≥4，a-2≥4，或 a-2≤-4，
求得a≥6，或a≤-2，
故a的范圍為{a|a≥6，或a≤-2 }．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．