Question

13．△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，a=2，B=45°，①當(dāng)b=$\sqrt{2}$時(shí)，三角形有1個(gè)解；②若三角形有兩解，則b的取值范圍是（2，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 ①由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得$\frac{2}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$，由此能推導(dǎo)出三角形只有一個(gè)解．
②BC=a=2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個(gè)交點(diǎn)，由此利用正弦定理結(jié)合已知條件能求出b的取值范圍．

解答 解：①∵△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，
a=2，B=45°，b=$\sqrt{2}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得$\frac{2}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$，
解得sinA=1，∴A=90°，三角形只有一個(gè)解．
故答案為：1．
②BC=a=2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)A=90°時(shí)，圓與AB相切；
當(dāng)A=45°時(shí)交于B點(diǎn)，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：b=x=$\frac{asinB}{sinA}$=$2\sqrt{2}$sinA，
∵2$\sqrt{2}$sinA∈（2，2$\sqrt{2}$）．
∴b的取值范圍是（2，2$\sqrt{2}$）．
故答案為：（2，2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解的個(gè)數(shù)的求法，考查三角形有兩解時(shí)實(shí)數(shù)值b的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理的合理運(yùn)用．