Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）-cos2x（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的周期及最小值；
（2）△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（$\frac{B}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，且a＞b，試求角B和角C．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角差的余弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用周期公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
（2）由（1）及f（$\frac{B}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化簡可得sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，結合a＞b，可得B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求B，進而利用正弦定理可求sinC，結合C的范圍，即可得解C的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）-cos2x=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）_min=-$\sqrt{3}$．
（2）∵f（$\frac{B}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即：$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sin（B-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵a＞b，可得B∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）
∴B-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，可得：B=$\frac{π}{6}$，
又∵b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C∈（$\frac{π}{6}$，π），
∴C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$（舍去）．

點評 本題主要考查了 特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的余弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，周期公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，解題時要注意驗根，屬于中檔題．