Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：$2{S_n}={a_n}^2+n，（{a_n}＞0，n∈{N^*}）$．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明；
（3）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1，再用數(shù)學歸納法進行證明；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）分別令n=1，2，3，得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}={a}_{1}^{2}+1}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}）={a}_{2}^{2}+2}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}={a}_{3}^{2}+3}\end{array}\right.$
∵a_n＞0，
∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的結(jié)論：猜想a_n=n
（ⅰ）當n=1時，a₁=1成立；
（ⅱ）假設(shè)當n=k（k≥2）時，a_k=k．
那么當n=k+1時，
[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
這就是說，當n=k+1時也成立，
∴a_n=n（n≥2），顯然n=1時，也適合．
綜合（i）（ii）可知對于n∈N^*，a_n=n都成立．
（3）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=1×（$\frac{1}{2}$）+2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+3×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（1+$\frac{n}{2}$）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$

點評 本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，“錯位相減法”、數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．