Question

3．用max{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最大值，函數(shù)f（x）=max{a^x，$\frac{x}{4}$}（a＞0，a≠1），若f（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 分別畫出y=a^x的圖象，分0＜a＜1或a＞1，以及y=$\frac{x}{4}$的圖象，分類討論，即可求出a的取值范圍．

解答 解：分別畫出y=a^x的圖象，分0＜a＜1或a＞1，以及y=$\frac{x}{4}$的圖象，
由圖象可知，當(dāng)a＞1時(shí)，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=max{a^x，$\frac{x}{4}$}=a^x，
由于f（x）＞0，在x∈R，故f（x）＞$\frac{1}{2}$不恒成立，故不符合題意，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）=max{a^x，$\frac{x}{4}$}，
當(dāng)$\frac{x}{4}$＞$\frac{1}{2}$時(shí)，解的x＞2時(shí)，
故當(dāng)x＜2時(shí)，a^x＞$\frac{1}{2}$，
∴a²＞$\frac{1}{2}$，
解得a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題．