Question

在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，已知a₅=-3，S₇=-14．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+1-2b_n=0，b₂+b₄=20．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)與公差，即可求出通項(xiàng)公式，判斷{b_n}是等比數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）通過(guò)c_n=

an

bn

，得到通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法直接求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則

a1+4d=-3 7a1+21d=-14

解得

a1=1 d=-1

∴a_n=1-（n-1）=2-n…3分
又∵b_n+1-2b_n=0，∴數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列．
由b₂+b₄=2b₁+8b₁=20得：b₁=2，
∴bn=2•2n-1=2n…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）cn=

2-n

2n

，∴Tn=

1

21

+

0

22

+

-1

23

+…+

3-n

2n-1

+

2-n

2n

①，

1

2

Tn=

1

22

+

0

23

+

-1

24

+… +

3-n

2n

+

4-n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

-(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

)-

2-n

2n+1

…9分
∴Tn=1-(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

)+

n-2

2n

=1-(1-

1

2n-1

)+

n-2

2n

=

n

2n

…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力、分析問(wèn)題的能力，中等題．