Question

（1）在區(qū)間[0，4]上隨機(jī)取出兩個(gè)整數(shù)m，n，求關(guān)于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有實(shí)數(shù)根的概率；
（2）在區(qū)間[0，4]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)m，n，求關(guān)于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意，找出滿足條件的整數(shù) 的個(gè)數(shù)，利用古典概型的公式求之；
（2）關(guān)鍵是要找出（m，n）對(duì)應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有實(shí)根的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）由題意在區(qū)間[0，4]上隨機(jī)取出兩個(gè)整數(shù)m，n，共有：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）25個(gè)，其中第一個(gè)數(shù)表示m的取值，第二個(gè)數(shù)表示n的取值；
關(guān)于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有實(shí)數(shù)根需要滿足n≥4m，即4m≤n，共有基本事件：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，4），共有6個(gè)，
所以關(guān)于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有實(shí)數(shù)根的概率為

6

25

；
（2）如下圖所示：試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（m，n）|0＜m＜4，0＜n＜4}（圖中矩形所示）．其面積為1．
構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x²-

n

x+m=0有實(shí)根”的區(qū)域?yàn)?br />{（m，n）|0＜m＜4，0＜n＜4，n≥4m}（如圖陰影所示），
所以所求的概率為

1 2 ×1×4

4×4

=

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何概型的求法；解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=N（A）/N求解．