Question

2．過曲線C：y=e^x上一點(diǎn)，然后再過P₁（x₁，y₁）做曲線C的切線l₁交x軸于Q₂（x₂，0），又過Q₂做x軸P₀（0，1）作曲線C的切線l₀交x軸于點(diǎn)Q₁（x₁，0），又過Q₁做x軸的垂線交曲線C于P₁（x₁，y₁）的垂線交曲線C于點(diǎn)P₂（x₂，y₂），…，以此類推，過點(diǎn)P_n的切線l_n與x軸相交于點(diǎn)Q_n+1（x_n+1，0），再過點(diǎn)Q_n+1做x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)曲線C與切線l_n及垂線P_n+1Q_n+1所圍成的圖形面積為S_n，求S_n的表達(dá)式；
（3）在滿足（2）的條件下，若數(shù)列S_n的前n項(xiàng)和為T_n，求證：$\frac{{{T_{n+1}}}}{T_n}$＜$\frac{{{x_{n+1}}}}{x_n}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）先求出導(dǎo)函數(shù)進(jìn)而求出切線的斜率，再把1，2代入就可求出求x₁、x₂的值．求出點(diǎn)P_n的切線l_n的方程即可求出及數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）直接利用定積分來求S_n的表達(dá)式即可；
（3）利用（2）的結(jié)論先求出數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)之和為T_n，再把所要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)歸納法證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e即可．

解答 （1）解：由y'=e^x，設(shè)直線l_n的斜率為k_n，則${k}_{n}={e}^{{x}_{n}}$．
∴直線l₀的方程為y=x+1．令y=0，得x₁=-1，∴．y'=e^x${y}_{1}={e}^{{x}_{1}}=\frac{1}{e}$，∴${p}_{1}（-1，\frac{1}{e}）$．∴直線l₁的方程為$y-\frac{1}{e}=\frac{1}{e}（x+1）$
令y=0，解得x₂=-2； 一般地，直線l_n的方程為$y-{e}^{{x}_{n}}={e}^{{x}_{n}}（x-{x}_{n}）$，
由于點(diǎn)點(diǎn)Q_n+1（x_n+1，0）在直線l_n上，∴x_n+1-x_n=-1，∴{x_n}是首項(xiàng)-1，公差-1的等差數(shù)列，∴x_n=-n
（2）解：${S}_{n}={∫}_{-（n+1）}^{-n}{e}^{x}ecegk4q_{x}-\frac{1}{2}（{x}_{n}-{x}_{n+1}）{y}_{n}$=${e}^{x\\ \frac{-n}{-（n+1）}}-\frac{1}{2}{y}_{n}=（{e}^{-n}-{e}^{-（n+1）}）-\frac{1}{2}{e}^{-n}$
Sn=${∫}_{-（n+1）}^{-n}{e}^{x}24icoae_{x}-\frac{1}{2}{（x}_{n-}{x}_{n+1}）{y}_{n}{=e}^{x}?\frac{-n}{-n-1}$$-\frac{1}{2}{y}_{n}={e}^{-n}-{e}^{-n-1}-\frac{1}{2}{e}^{-e}=\frac{e-2}{2e}•\frac{1}{{e}^{n}}$
${T}_{n}=\frac{e-2}{2e}（\frac{1}{e}+\frac{1}{{e}^{2}}+…+\frac{1}{{e}^{n}}）$=$\frac{e-2}{2e（e-1）}•（1-\frac{1}{{e}^{n}}）$
（3）解：證明：
$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}=\frac{1-\frac{1}{{e}^{n+1}}}{1-\frac{1}{{e}^{n}}}=1+\frac{e-1}{{e}^{n+1}-e}$
$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=\frac{-（n+1）}{-n}=1+\frac{1}{n}$
要證明$\frac{{{T_{n+1}}}}{T_n}$＜$\frac{{{x_{n+1}}}}{x_n}$，只要證明$\frac{e-1}{{e}^{n+1}-e}＜\frac{1}{n}$，只需要證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e
證明：（數(shù)學(xué)歸納法）
1．當(dāng)n=1時(shí)，顯然e²＞（e-1）+e成立；
2．假設(shè)n=k時(shí)，則有e^k+1＞（e-1）k+e成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]，
而e[（e-1）k+e]-[（e-1）（k+1）+e]=（e-1）²（k+1）＞0．
∴e[（e-1）k+e]＞（e-1）（k+1）+e．∴e^k+2＞（e-1）（k+1）+e．
這說明，n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由①②知不等式$\frac{{{T_{n+1}}}}{T_n}$＜$\frac{{{x_{n+1}}}}{x_n}$，對(duì)一切（n∈N^*）都成立；
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、定積分等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)，是綜合題，難度大，計(jì)算能力要求高．