Question

12．a(chǎn)₁=2×（1-$\frac{1}{4}$），
a₂=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$），
a₃=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$），
a₄=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$），
，…，
a_n=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$），
（1）求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜測a_n=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）的取值并且用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，能夠求出a₁，a₂，a₃，a₄的值．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=$\frac{n+2}{n+1}$，（n∈N^*），檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（1）a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{4}{3}$，a₃=$\frac{5}{4}$，a₄=$\frac{6}{5}$；
（2）猜想：a_n=$\frac{n+2}{n+1}$
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{3}{2}$=$\frac{1+2}{1+1}$ 顯然成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）命題成立，即a_k=$\frac{k+2}{k+1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2×（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$），
=a_k•（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）=$\frac{k+2}{k+1}$•$\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{k+2}$
∴由①②）可知，a_n=$\frac{n+2}{n+1}$對n∈N*成立

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式．