Question

14．設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為$\frac{2}{3}$，若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．
（Ⅰ）求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；
（Ⅱ）求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件乘法概率公式能求出他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率．
（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為$\frac{2}{3}$，
∴他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率：
p=$\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{2}{3}）×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$．
（Ⅱ）由已知得他所耗用的子彈數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，
P（X=2）=（$\frac{2}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{5}{9}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=4）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{10}{81}$，
P（X=5）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{81}$，
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{10}{81}$	$\frac{8}{81}$

∴EX=$2×\frac{5}{9}+3×\frac{2}{9}+4×\frac{10}{81}+5×\frac{8}{81}$=$\frac{224}{81}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．