Question

20．已知圓C₁：（x-3）²+（y-3）²=18，過A（-3，0）的直線l交圓C₁于M，N兩點．
（1）若△C₁MN為直角三角形，求直線l的方程；
（2）若圓C₂過點A且與圓C₁切于坐標原點，求圓C₂的標準方程．

Answer 1

分析 （1）當直線l的斜率不存在時顯然不合題意，設l：y=k（x+3），當∠MC₁N=90°時，圓心C₂到直線l得距離為3，利用點到直線的距離公式，建立方程，即可求直線l的方程；
（2）圓C₂的圓心在直線$x=-\frac{3}{2}$上，同時也在直線y=x上，確定圓心與半徑，即可求圓C₂的標準方程．

解答 解：（1）當直線l的斜率不存在時顯然不合題意，
設l：y=k（x+3），…1分
當∠MC₁N=90°時，圓心C₂到直線l得距離為3，…3分
$\frac{|3k-3+3k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=3⇒\frac{|2k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，
解得：k=0或$k=\frac{4}{3}$，…5分
所以直線方程為：y=0或4x-3y+12=0．…7分
（2）可知圓C₁和圓C₂相外切，…8分
圓C₂的圓心在直線$x=-\frac{3}{2}$上，…10分
同時也在直線y=x上，…12分
得${C_2}（-\frac{3}{2}，-\frac{3}{2}）$，$r=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，…14分
圓C₂：${（x+\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{9}{2}$．…16分．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．