Question

5．若sinα+cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosα+sinβ=$\sqrt{2}$，則sin（α-β）=（　�。�

• A． $\frac{5}{11}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． -$\frac{5}{11}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 將兩等式兩邊平方相加或相減，結(jié)合同角的平方關(guān)系和二倍角的余弦公式、兩角和差正弦公式，以及和差化積公式，化簡整理，即可得到所求值．

解答 解：sinα+cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，①
cosα+sinβ=$\sqrt{2}$，②
①²+②²，可得（sin²α+cos²α）+（sin²β+cos²β）+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=$\frac{11}{4}$，
即為2+2sin（α+β）=$\frac{11}{4}$，即有sin（α+β）=$\frac{3}{8}$，
①²-②²，可得（sin²α-cos²α）+（cos²β-sin²β）+2（sinαcosβ-cosαsinβ）=-$\frac{5}{4}$，
即為-cos2α+cos2β+2sin（α-β）=-$\frac{5}{4}$，
即有2sin（α-β）+2sin（α-β）sin（α+β）=-$\frac{5}{4}$，
即為2sin（α-β）（1+$\frac{3}{8}$）=-$\frac{5}{4}$，
解得sin（α-β）=-$\frac{5}{11}$．
故選：C．

點評 本題考查三角函數(shù)的求值，注意運(yùn)用平方法和三角函數(shù)的恒等變換公式，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．