Question

20．已知函數(shù)f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）
（1）根據(jù)λ的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)λ=1時(shí)，當(dāng)λ=-1時(shí)，當(dāng)|λ|≠1時(shí)，求出f（x）的解析式，運(yùn)用奇偶性的定義即可判斷；
（2）由題意可得3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，令t=3^x∈[1，9]，原不等式等價(jià)于λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=3^x+λ•3^-x的定義域?yàn)镽，
當(dāng)λ=1時(shí)，f（x）=3^x+3^-x，由f（-x）=f（x），可得函數(shù)為偶函數(shù)；
當(dāng)λ=-1時(shí)，f（x）=3^x-3^-x，由f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)；
當(dāng)|λ|≠1時(shí)，f（1）=3+$\frac{λ}{3}$，f（-1）=$\frac{1}{3}$+3λ，此時(shí)f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）由f（x）≤6得3^x+λ3^-x≤6，即3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，
令t=3^x∈[1，9]，
原不等式等價(jià)于t+$\frac{λ}{t}$≤6在t∈[1，9]上恒成立，
亦即λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，
令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，
當(dāng)t=9時(shí)，g（t）有最小值g（9）=-27，
所以λ≤-27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和奇偶性的定義，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．