Question

如圖所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．求：
（1）四棱錐S-ABCD的體積；
（2）面SCD與面SBA所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先求出直角梯形ABCD的面積再計(jì)算四棱錐S-ABCD的體積．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出面SCD與面SBA所成二面角的余弦值．

解答： 解：（1）∵ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，
SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，
∴S梯形ABCD=

1

2

(AD+BC)×AB
=

1

2

(

1

2

+1)×1=

3

4

，
∴四棱錐S-ABCD的體積：
V=

1

3

×AS×S梯形ABCD
=

1

3

×1×

3

4

=

1

4

．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，

1

2

，0），

SC

=（1，1，-1），

SD

=（0，

1

2

，-1），
設(shè)平面SCD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • SC =x+y-z=0 n • SD = 1 2 y-z=0

，取z=1，得

n

=（-1，2，1），
又平面SAB的法向量

m

=(0，1，0)，
設(shè)面SCD與面SBA所成二面角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

2

6

|=

6

3

，
∴面SCD與面SBA所成二面角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四棱錐的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．