【題目】定義:若兩個(gè)橢圓的離心率相等,則稱兩個(gè)橢圓是相似的.如圖,橢圓與橢圓是相似的兩個(gè)橢圓,并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2,點(diǎn),分別是橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)過(guò)的直線交橢圓于點(diǎn),,求面積的最大值.

【答案】(1)橢圓的方程為,橢圓的方程是(2)

【解析】

1)設(shè)橢圓的半焦距為,橢圓的半焦距為,直接利用橢圓的定義得到答案.

2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程得到,

,利用均值不等式得到答案.

解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為,橢圓的半焦距為,由已知,=1,

∵橢圓與橢圓的離心率相等,即,

,即

,即,∴,

∴橢圓的方程為,橢圓的方程是;

2)顯然直線的斜率不為0,故可設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立:,得,即,

,設(shè),,

,,∴,

的高即為點(diǎn)到直線的距離

的面積,

,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立

,即的面積的最大值為.

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