Question

7．已知兩個正變量x，y，滿足x+y=4，則使不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{9}{4}$]，當x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{8}{3}$時等號成立．

Answer 1

分析 運用乘1法，可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{4}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$），由基本不等式可得最小值，進而得到m的范圍和相應(yīng)x，y的值．

解答 解：x＞0，y＞0，且x+y=4，可得
$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{4}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=$\frac{9}{4}$，
當且僅當y=2x=$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$取得最小值$\frac{9}{4}$，
由不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥m恒成立，可得m≤$\frac{9}{4}$．
故答案為：（-∞，$\frac{9}{4}$]，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求最值問題，注意運用乘1法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．