Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記b_n=$\frac{4+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n，求證：對(duì)任意的n∈N^*，都有R_n＜4n；
（Ⅲ）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：對(duì)任意n∈N^*，都有T_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出{a_n}為等比數(shù)列，得出其通項(xiàng)公式，代入b_n=$\frac{4+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$得出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）化簡(jiǎn)b_n，得出{b_n}的相鄰兩項(xiàng)之和小于8，從而得出結(jié)論；
（III）化簡(jiǎn)c_n，得出c_n＜$\frac{25}{1{6}^{n}}$，從第二項(xiàng)開(kāi)始使用不等式c_n＜$\frac{25}{1{6}^{n}}$，得出結(jié)論．

解答 解：（I）∵a_n=5S_n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5a₁+1，∴a₁=-$\frac{1}{4}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=5S_n-1+1，
∴a_n-a_n-1=5a_n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴{a_n}是以-$\frac{1}{4}$為首項(xiàng)，以-$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=（-$\frac{1}{4}$）ⁿ．
∴b_n=$\frac{4+（-\frac{1}{4}）^{n}}{1-（-\frac{1}{4}）^{n}}$．
（II）由（I）知b_n=$\frac{4+（-\frac{1}{4}）^{n}}{1-（-\frac{1}{4}）^{n}}$=4+$\frac{5}{（-4）^{n}-1}$．
∴b_2k+b_2k-1=8+$\frac{5}{（-4）^{2k}-1}$+$\frac{5}{（-4）^{2k-1}-1}$=8+$\frac{5}{1{6}^{k}-1}-\frac{20}{1{6}^{k}+4}$=8-$\frac{15•1{6}^{k}-40}{（1{6}^{k}-1）（1{6}^{k}+4）}$＜8．
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m，則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m=4n．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1，R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1＜8（m-1）+4=4n．
∴對(duì)任意的n∈N^*，都有R_n＜4n．
（III）c_n=b_2n-b_2n-1=$\frac{5}{{4}^{2n}-1}$+$\frac{5}{{4}^{2n-1}+1}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{（1{6}^{n}-1）（1{6}^{n}+4）}$=$\frac{25•1{6}^{n}}{（1{6}^{n}）^{2}+3•1{6}^{n}-4}$＜$\frac{25•1{6}^{n}}{（1{6}^{n}）^{2}}$=$\frac{25}{1{6}^{n}}$．
∵b₁=3，b₂=$\frac{13}{3}$，∴c₁=$\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，T₁$＜\frac{3}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＜$\frac{4}{3}$+25（$\frac{1}{1{6}^{2}}+\frac{1}{1{6}^{3}}$+…+$\frac{1}{1{6}^{n}}$）=$\frac{4}{3}$+25×$\frac{\frac{1}{1{6}^{2}}[1-（\frac{1}{16}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{16}}$
＜$\frac{4}{3}$+25×$\frac{\frac{1}{1{6}^{2}}}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{69}{48}$$＜\frac{3}{2}$．
∴對(duì)任意n∈N^*，都有T_n＜$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，不等式的證明，屬于難題．