在△ABC中，過中線AD的中點E任作一條直線分別交AB，AC于M，N兩點，若
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則4x+y的最小值為（　�。�
A、
7
4
B、
5
3
C、
9
5
D、
9
4
考點：平面向量的基本定理及其意義,向量在幾何中的應用
專題：平面向量及應用
分析：根據(jù)向量的加法及條件，結合M，E，N三點共線，解出x，y的方程，然后利用“1”的代換，化簡4x+y，利用基本不等式，求表達式的最小值即可．
解答： 解：∵
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
），且E為AD中點，∴
AE
=
1
2
AD
=
1
4
（
AB
+
AC
）．
又
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
（x＞0，y＞0），
∴
AB
=
1
x
AM
，
AC
=
1
y
AN
．
因此
AE
=
1
4
（
1
x
AM
+
1
y
AN
），
又M，E，N三點共線，
∴
1
4x
+
1
4y
=1，（x＞0，y＞0）．
于是4x+y（4x+y）=1+
1
4
+
y
4x
+
x
y
≥1+
1
4
+1=
9
4
．
點評：考查向量的加法運算，共線及共面向量基本定理，基本不等式這幾個知識點．求解本題的另一個關鍵基本不等式求解表達式的最小值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函數(shù)圖象上存在點P（x0，y0）（其中x0在x1與x2之間），使得點P處的切線l平行于直線AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當x0=
x1+x2
2
時，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試判斷函數(shù)f（x）的圖象上是否存在“中值伴隨切線”，若存在，請求出“中值伴隨切線”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是Ac，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．
（1）求證：A1C⊥平面BCDE；
（2）求棱錐A1-CBED的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示（網(wǎng)格中的小正方形邊長為1），則該幾何體的表面積為（　�。�
A、6+2
3
B、4+4
2
C、2+4
2
+2
3
D、4+2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l：ax+by=0的距離為2
2
，則直線l的斜率的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+
a2-3
2
x2-ax+2，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-4y+8=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥A1C1，B1C⊥AC1，AB=2，AC=1則該三棱柱的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-2x，g（x）=x2+m（m∈R），若對于函數(shù)y=f（x）中的任意實數(shù)x，在y=g（x）上總存在實數(shù)x0，使得g（x0）＜f（x）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

3個班分別從5個風景點處選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是（　�。�
A、53
B、35
C、A53
D、C53

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