Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁與x₂之間），使得點(diǎn)P處的切線l平行于直線AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當(dāng)x₀=

x1+x2

2

時(shí)，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試判斷函數(shù)f（x）的圖象上是否存在“中值伴隨切線”，若存在，請(qǐng)求出“中值伴隨切線”．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

大于、小于0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）假設(shè)存在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（不妨設(shè)0＜x₁＜x₂），使得AB存在“中值伴隨切線”，則

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′（

x1+x2

2

），化簡(jiǎn)后，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-

2x-2

x+1

，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用定義，推出結(jié)論矛盾，得到結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2lnx．函數(shù)的定義域?yàn)椋簒＞0，
∴f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

，
由f′（x）＞0知：遞增區(qū)間為（1，+∞），
由f′（x）＜0知，遞減區(qū)間為（0，1].3分
（2）假設(shè)存在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（不妨設(shè)0＜x₁＜x₂），使得AB存在“中值伴隨切線”，則

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′（

x1+x2

2

），
化簡(jiǎn)得：

2

x1+x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

，即

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

=ln

x1

x2

．
設(shè)函數(shù)g（x）=ln x-

2x-2

x+1

，則g′（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1]上是增函數(shù)．
又0＜

x1

x2

＜1，所以g（

x1

x2

）＜g（1）=0，即

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

＞ln

x1

x2

，與上面結(jié)論矛盾，
所以在函數(shù)f（x）的圖象上是不存在不同兩點(diǎn)A，B，使得AB存在“中值伴隨切線”.12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程的求法，新定義以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．