Question

2．給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（　　）
①若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC是等邊三角形；
②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，則△ABC是鈍角三角形；
④若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和角的范圍進(jìn)行判斷．

解答 解：對(duì)于①，∵A-B∈（-π，π），B-C∈（-π，π），C-A∈（-π，π），
∴-1＜cos（A-B）≤1，-1＜cos（B-C）≤1，-1＜cos（C-A）≤1．
∵cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，
∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，∴△ABC是等邊三角形，故①正確．
對(duì)于②，若A=120°，B=30°，顯然sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形，故②錯(cuò)誤．
對(duì)于③，若cosAcosBcosC＜0，則cosA，cosB，cosC中必有一個(gè)小于0，即必有一個(gè)角為鈍角，故③正確．
對(duì)于④，若sin2A=sin2B，則2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形，故④錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，解三角形，屬于中檔題．