【題目】如圖,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,將△ABD沿BD折到△A′BD的位置,使平面A′BD⊥平面CBD.
(Ⅰ)求證:CD⊥A′B;
(Ⅱ)試在線段A′C上確定一點P,使得二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.
【答案】證明:(I)證法一:在△ABC中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2ABADcosA=4+4+8cosC,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC=16+4﹣16cosC
由上述兩式可知,
∴BD⊥CD
又∵面A'BD⊥面CBD,面A'BD∩面CBD=BD,
∴CD⊥面A'BD
∵A'B面A'BD,∴A'B⊥CD.
(II)解:
法一:存在.P為A'C上靠近A'的三等分點.
取BD的中點O,連接A′O,∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
又∵平面A′BD⊥平面CBD,∴A'O⊥平面CBD,
∴平面A'OC⊥平面BCD,
過點P作PQ⊥OC于Q,則PQ⊥平面BCD,過點Q作QH⊥BD于H,連接PH.
則QH是PH在平面BDC的射影,故PH⊥BD,
所以,∠PHQ為二面角P﹣BD﹣C的平面角,
P為A'C上靠近A'的三等分點,
∴ , ,∴ ,∴∠PHD=45°.
∴二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.
證明:(Ⅰ)證法一:在等腰梯形ABCD中,過點A作AE⊥BC于E,
過點D作DF⊥BC于F,則AE∥DF,∴EF=AD=2,
又∵在等腰梯形ABCD中,Rt△ABE≌Rt△DCF且BC=4∴BE=FC=1∴ D
在△BCD中, ,
∴BD2+CD2=BC2 , ∴CD⊥BD,
又∵平面A'BD⊥平面CBD,
面A'BD∩面CBD=BD∴CD⊥平面A'BD∴CD⊥A'B.
(Ⅱ)解法二:由(Ⅰ)知CD⊥BD,CD⊥平面A′BD.
以D為坐標原點,以 的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz.
則D(0,0,0), ,C(0,2,0),
取BD的中點O,連接A'O,∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
在等腰△A'BD中 可求得A'O=1∴
所以 ,
設(shè) ,則
設(shè) 是平面PBD的法向量,則 ,
即 可取
易知:平面CBD的一個法向量為
由已知二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.
∴ ,
解得: 或λ=﹣1(舍)
∴點P在線段A'C靠近A'的三等分點處.
【解析】(I)法一:由余弦定理推導出BD⊥CD,從而CD⊥面A'BD,由此能證明A'B⊥CD.
法二:過點A作AE⊥BC于E,過點D作DF⊥BC于F,則AE∥DF,推導出CD⊥BD,從而CD⊥平面A'BD,由此能證明CD⊥A'B.(II)法一:取BD的中點O,連接A′O,推導出平面A'OC⊥平面BCD,過點P作PQ⊥OC于Q,則PQ⊥平面BCD,過點Q作QH⊥BD于H,連接PH,推導出PH⊥BD,從而∠PHQ為二面角P﹣BD﹣C的平面角,由此能求出P為A'C上靠近A'的三等分點,二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.
法二:以D為坐標原點,以 的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系D﹣xyz,利用向量法能求出點P在線段A'C靠近A'的三等分點處.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率為,橢圓上一點到左右兩個焦點的距離之和是4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知下列兩個命題: 函數(shù)在[2,+∞)單調(diào)遞增; 關(guān)于的不等式的解集為.若為真命題, 為假命題,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下表是某地一家超市在2018年一月份某一周內(nèi)周2到周6的時間與每天獲得的利潤(單位:萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù).
星期 | 星期2 | 星期3 | 星期4 | 星期5 | 星期6 |
利潤 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求線性回歸直線方程;
(2)估計星期日獲得的利潤為多少萬元.
參考公式:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了解學生對數(shù)學學案質(zhì)量的滿意度,從高一、高二兩個年級分別隨機調(diào)查了20個學生,得到對學案滿意度評分(滿分100分)的莖葉圖如圖:則下列說法錯誤的是( )
A.高一學生滿意度評分的平均值比高二學生滿意度評分的平均值高
B.高一學生滿意度評分比較集中,高二學生滿意度評分比較分散
C.高一學生滿意度評分的中位數(shù)為80
D.高二學生滿意度評分的中位數(shù)為74
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 的一段圖像如圖所示.
(1)求此函數(shù)的解析式;
(2)求此函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1 , F2是橢圓 的左、右焦點,點P在橢圓C上,線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q,且點Q為線段PF2的中點,則 (其中e為橢圓C的離心率)的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某汽車公司對最近6個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計,結(jié)果如表;
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市場占有率 | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
(1)可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系嗎?如果能,請求出關(guān)于的線性回歸方程,如果不能,請說明理由;
(2)公司決定再采購兩款車擴大市場, 兩款車各100輛的資料如表:
車型 | 報廢年限(年) | 合計 | 成本 | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
10 | 30 | 40 | 20 | 100 | 1000元/輛 | |
15 | 40 | 35 | 10 | 100 | 800元/輛 |
平均每輛車每年可為公司帶來收入元,不考慮采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛車的使用壽命部是整數(shù)年,用每輛車使用壽命的頻率作為概率,以每輛車產(chǎn)生利潤的平均數(shù)作為決策依據(jù),應(yīng)選擇采購哪款車型?
參考數(shù)據(jù): ,,,.
參考公式:相關(guān)系數(shù);
回歸直線方程為,其中,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 .
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