Question

已知f（x）=-2asinx+2a+b，x∈[-

2π

3

，

π

3

]，是否存在常數(shù)a，b∈Q，使得函數(shù)f（x）的值域為{y|-3≤y≤

3

-1}，若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值

分析：首先利用函數(shù)的定義域求出三角函數(shù)的值域，進一步對系數(shù)a進行分類討論，進一步利用函數(shù)的值域建立等量關(guān)系，最后求出a和b的值．

解答： 解：已知：x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
所以：-1≤sinx≤

3

2

假設(shè)存在有理數(shù)a和b，則：
①當a＞0時，2a≥-2asinx≥-

3

a
則：4a+b≥f(x)≥-

3

a+2a+b
由于函數(shù)f（x）的值域為：{y|-3≤y≤

3

-1}
所以：

4a+b= 3 -1 - 3 a+2a+b=-3

解得：a=1，b=

3

-5．
②當a＜0時，2a≤-2asinx≤-

3

a，
則：4a+b≤-2asinx+2a+b≤-

3

a+2a+b
由于函數(shù)f（x）的值域為：{y|-3≤y≤

3

-1}
所以：

4a+b=-3 - 3 a+2a+b= 3 -1

解得：a=-1，b=1．
故存在有理數(shù)a=-1，b=1使得函數(shù)f（x）的值域為{y|-3≤y≤

3

-1}．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，利用函數(shù)的值域建立等量關(guān)系，解方程組中的應用．