Question

19．已知A，B兩點之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為1，2，2，3，3，4．現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大的信息量，設選取的三條網(wǎng)線由A到B可通過的最大信息總量為ξ．
（1）當ξ≥7時，則保證信息暢通，求線路信息暢通的概率；
（2）求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）從6條網(wǎng)線中隨機取三網(wǎng)線，共有${C}_{6}^{3}$種情況，線路信息暢通的概率P（ξ≥7）=P（ξ=7）+P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10），由此能求出結果．
（2）由題意ξ的可能可值為5，6，7，8，9，10，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）從6條網(wǎng)線中隨機取三網(wǎng)線，共有${C}_{6}^{3}=20$種情況，
如圖，∵1+2+4=2+2+3=1+3+3=7，
∴P（ξ=7）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵1+3+4=2+2+4=2+3+3=8，
∴P（ξ=8）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵2+3+4=9，
∴P（ξ=9）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
∵3+3+4=10，
∴P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
線路信息暢通的概率：
P（ξ≥7）=P（ξ=7）+P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=$\frac{5}{20}+\frac{4}{20}+\frac{5}{20}+\frac{1}{20}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由題意ξ的可能可值為5，6，7，8，9，10，
∵1+2+2=5，
∴P（ξ=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∵1+2+3=6，
∴P（ξ=6）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
P（ξ=7）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵1+3+4=2+2+4=2+3+3=8，
∴P（ξ=8）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{5}{20}$，
∵2+3+4=9，
∴P（ξ=9）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$，
∵3+3+4=10，
∴P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{5}{20}$	$\frac{5}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴Eξ=$5×\frac{1}{20}+6×\frac{4}{20}+7×\frac{5}{20}+8×\frac{5}{20}+9×\frac{4}{20}$+10×$\frac{1}{20}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查古典概型、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望等知識，考查或然與必然的數(shù)學思想方法，考查數(shù)據(jù)處理、運算求解能力和數(shù)學應用意識．