Question

交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為T，其范圍為[0，10]，分別有5個級別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵．早高峰時段（T≥3），從貴陽市交通指揮中心隨機選取了二環(huán)以內(nèi)50個交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示：
（1）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4，8）時的中位數(shù)和平均數(shù)
（2）據(jù)此直方圖求出早高峰二環(huán)以內(nèi)的3個路段至少有兩個嚴重擁堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘；中度擁堵為45分鐘；嚴重擁堵為60分鐘，求此人所用時間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,頻率分布表

專題：

分析：（1）根據(jù)中位數(shù)左、右兩邊小矩形的面積相等求中位數(shù)，根據(jù)平均數(shù)為各個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)乘以對應(yīng)小矩形的面積之和求數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
（2）根據(jù)直方圖求出“一條路段嚴重擁堵”的概率，利用相互獨立事件乘法公式可求三個路段至少有兩條是嚴重擁堵的概率；
（3）此人所用時間的隨機變量X取值為30，35，45，60，根據(jù)題意可求相應(yīng)的概率，進而可求X的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由直方圖知：T∈[4，8）時交通指數(shù)的中位數(shù)為5+1×

0.2

0.24

=

35

6

T∈[4，8）時交通指數(shù)的平均數(shù)為4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72
（2）設(shè)事件A為“一條路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1
則3條路段中至少有兩條路段嚴重擁堵的概率為：P=

C

2 3

×(

1

10

)2×(1-

1

10

)+

C

3 3

×(

1

10

)3=

7

250

所以3條路段中至少有兩條路段嚴重擁堵的概率為

7

250

（3）由題意，所用時間x的分布列如下表：

x	30	35	45	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

則Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6
所以此人經(jīng)過該路段所用時間的數(shù)學(xué)期望是40.6分鐘

點評：本題以實際問題為素材，考查由直方圖求出中位數(shù)、平均數(shù)的估計值，以及離散型隨機變量的概率及期望，關(guān)鍵是正確運用公式．屬于中檔題．