Question

已知f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．
（Ⅰ）求a的值，并求出函數(shù)F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=f（x）+2^x-

b

2x+1

在[0，1]內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數(shù)，從而可得a=1；代入可得F(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

，從而求零點(diǎn)；
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

，從而可得方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內(nèi)有解．從而解得．

解答： 解：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，得a=1，
∴F(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

，
由（2^x）²+2^x-6=0，得2^x=2，
∴x=1，
即F（x）的零點(diǎn)為x=1．
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

，
由題設(shè)知h（x）=0在[0，1]內(nèi)有解，
即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內(nèi)有解．
∴b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，
∴2≤b≤7，
故當(dāng)2≤b≤7時(shí)，函數(shù)h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]內(nèi)存在零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．