Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)間的距離為2π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）α為銳角，且f（a+

π

3

）=

1

3

，求sin（

3π

2

+α）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象,運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求得ω，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）由f（a+

π

3

）=cos（α+

π

3

）=

1

3

，α為銳角，求得sin（α+

π

3

）的值，再根據(jù)sin（

3π

2

+α）=-cosα=-cos[（α+

π

3

）-

π

3

]，利用兩角差的余弦公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）∵圖象上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)間的距離為2π，∴T=

2π

ω

=2π，求得ω=1．
又f（x）為偶函數(shù)，則φ=kπ+

π

2

，k∈z，結(jié)合0≤φ≤π，可得φ=

π

2

，故f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）由f（a+

π

3

）=cos（α+

π

3

）=

1

3

，α為銳角，所以，sin（α+

π

3

）=

2 2

3

，
∴sin（

3π

2

+α）=-cosα=-cos[（α+

π

3

）-

π

3

]=-[cos（α+

π

3

）cos

π

3

+sin（α+

π

3

）sin

π

3

]
=-[

1

3

×

1

2

+

2 2

3

×

3

2

]=-

2 6 +1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．