Question

7．下面有5個(gè)命題：
①函數(shù)y=sin2x的最小正周期是π．
②若α為第二象限角，則$\frac{α}{3}$在一、三、四象限；
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sin x的圖象和函數(shù)y=x的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)．
④把函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．
⑤函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是減函數(shù)．
其中，真命題的編號是①④．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析 直接求出y=sin2x的周期判斷①的真假；由α為第二象限角，得到$\frac{α}{3}$的范圍判斷②；構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx-x，求出導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由f（0）=0，可以判斷③的假；根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，可以判斷④的真假；根據(jù)誘導(dǎo)公式，將函數(shù)化為余弦型，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，可以判斷⑤的真假．

解答 解：①函數(shù)y=sin2x的最小正周期是π，故①正確；
②若α為第二象限角，即$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z$，
則$\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}＜\frac{α}{3}＜\frac{π}{3}+\frac{2kπ}{3}，k∈Z$，
∴$\frac{α}{3}$在一、二、四象限，故②錯(cuò)誤；
③設(shè)f（x）=sinx-x，其導(dǎo)函數(shù)y′=cosx-1≤0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（0）=0，
∴f（x）=sinx-x圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．
∴f（x）=sinx與y=x 圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
④由題意得，y=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin2x，故④正確；
⑤由y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，可得y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是增函數(shù)，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷及其應(yīng)用，終邊相同的角，正弦函數(shù)的性質(zhì)，圖象的平移變換，及三角函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．