Question

19．函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的部分圖象如圖所示．
（1）寫出f（x）的最小正周期及圖中x₀，y₀的值；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}]$上的最大值和最小值．
（3）求f（x）在區(qū)間[-5，-2]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的特征、五點(diǎn)法作圖，求得x₀，y₀的值．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}]$上的最大值和最小值．
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）在區(qū)間[-5，-2]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的部分圖象，可得y₀=2，
根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得 $\frac{2π}{3}$•x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{2}$，∴x₀=$\frac{7}{2}$．
（2）在區(qū)間$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}]$上，∵$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$ $\frac{2π}{3}$]，
故當(dāng) $\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2；當(dāng)$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，函數(shù)f（x）取得最小值為-1．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 3k-2≤x≤3k+1，故函數(shù)的增區(qū)間為[3k-2，3k+1]，k∈Z．
再根據(jù)x∈[-5，-2]，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-5，-2]．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．