Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，過點A（1，m）作曲線y=f（x）的切線，若-3＜m＜-2，則滿足條件的切線條數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 1或2

Answer 1

分析 由f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，可得f'（1）=f'（-1）=0，得到a、b的方程組，求解得到a，b的值，則函數(shù)解析式可求設出切點為M（x₀，y₀），根據(jù)切點在曲線y=f（x）上和導數(shù)的幾何意義建立等量關系，推出2x₀³-3x₀²+m+3=0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2x³-3x²+m+3，求出其極大值和極小值，由m得范圍可得方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有3個解，從而得到切線條數(shù)．

解答 解：f'（x）=3ax²+2bx-3，依題意，f'（1）=f'（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，則f′（x）=3x²-3．
設切點為M（x₀，x₀³-3x₀），則f′（x₀）=3（x₀²-1），
∴切線的方程為y-x₀³+3x₀=3（x₀²-1）（x-x₀），
把點A（1，m）代入切線方程得m-x₀³+3x₀=3（x₀²-1）（1-x₀），
整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
令g（x）=2x³-3x²+m+3，則g′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
當x∈（-∞，0）∪（1，+∞）時，g′（x）＞0，當x∈（0，1）時，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，0），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)．
∴函數(shù)g（x）的極大值為g（0）=m+3，極小值為g（1）=m+2．
∵-3＜m＜-2，∴g（0）＞0，g（1）＜0．
又當x→-∞時，g（x）→-∞，當x→+∞時，g（x）→+∞，
∴關于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三個實根，即曲線y=f（x）的切線有3條．
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值等知識，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．