Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，離心率e=$\frac{1}{2}$，若圓x²+y²=$\frac{12}{7}$與直線AB相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，使得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$為定值，若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)到直線的距離公式，求得$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{12}{7}$，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a=2c，由橢圓的性質(zhì)b²+c²=a²，即可求得a和b的值，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)斜率不存在，求得直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)M和N，即可求得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$，直線斜率存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，由弦長公式丨MN丨，丨MF丨•丨NF丨，代入即可求得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$的值．

解答 解：（1）由題意可知，AB的直線方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即bx+ay-ab=0，
由圓x²+y²=$\frac{12}{7}$，
由直線與圓相切，由$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$，即$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{12}{7}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，得a=2c，
又由b²+c²=a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）若直線l的斜率不存在，可得直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），
此時(shí)$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
若直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去y得：（3+4k²）x2-8k²x+（4k²-12）=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₂-x₁丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{2}+{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{2+4{k}^{2}}$，
丨MF丨•丨NF丨=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{y}_{2}^{2}}$，
=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{k}^{2}（{{x}_{1}-1）}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{k}^{2}（{x}_{2}-1）^{2}}$，
=（1+k²）丨x₁-1丨丨x₂-1丨，
=-（1+k²）（x₁-1）（x₂-1），
=-（1+k²）[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]，
=$\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
所以$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{丨MF丨+丨NF丨}{丨MF丨•丨NF丨}$=$\frac{丨MN丨}{丨MF丨•丨NF丨}$=$\frac{\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$，
綜上所述，存在直線l，使得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{4}{3}$為定值．

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用，韋達(dá)定理及弦長公式，考查分類討論思想及運(yùn)算能力，屬于中檔題．