Question

17．某校為了解本校學(xué)生在校小賣部的月消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．得到如表樣本頻數(shù)分布表：

月消費(fèi)金額（單位：元）	[0，100）	[100，200）	[200，300）	[300，400）	[400，500）	≥500
人數(shù)	30	6	9	10	3	2

記月消費(fèi)金額不低于300元為“高消費(fèi)”，已知在樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到是男生“高消費(fèi)”的概率為$\frac{1}{6}$．
（Ⅰ）從月消費(fèi)金額不低于400元的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人月消費(fèi)金額不低于500元的概率；
（Ⅱ）請(qǐng)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“高消費(fèi)”與“男女性別”有關(guān)，說明理由．

	高消費(fèi)	非高消費(fèi)	合計(jì)
男生	10	20	30
女生	5	25	30
合計(jì)	15	45	60

下面的臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）月消費(fèi)金額在[400，500）的3人分別記為A₁，A₂，A₃，月消費(fèi)金額在大于或等于500的2人分別記為B₁，B₂，列出其所有的基本事件及“至少有1個(gè)月消費(fèi)金額不低于500元”事件A包含的基本事件，由古典概型公式，即可求得至少有1個(gè)月消費(fèi)金額不低于500元的概率；
（Ⅱ）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進(jìn)行比較，即可得到?jīng)]有90%的把握認(rèn)為“高消費(fèi)”與“男女性別”有關(guān)．

解答 解：（Ⅰ）樣本中，月消費(fèi)金額在[400，500）的3人分別記為A₁，A₂，A₃．
月消費(fèi)金額在大于或等于500的2人分別記為B₁，B₂．（1分）
從月消費(fèi)金額不低于400元的5個(gè)中，隨機(jī)選取兩個(gè)，
其所有的基本事件如下：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），共10個(gè)．（3分）
記“至少有1個(gè)月消費(fèi)金額不低于500元”為事件A
則事件A包含的基本事件有（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），共7個(gè)．（5分）
所以至少有1個(gè)月消費(fèi)金額不低于500元的概率為$P（A）=\frac{7}{10}$．（6分）
（Ⅱ）依題意，樣本中男生“高消費(fèi)”人數(shù)$60×\frac{1}{6}=10$．（7分）

	高消費(fèi)	非高消費(fèi)	合計(jì)
男生	10	20	30
女生	5	25	30
合計(jì)	15	45	60

（9分）
∴${K^2}=\frac{{60×{{（10×25-20×5）}^2}}}{30×30×45×15}$=$\frac{20}{9}＜2.706$．（11分）
所以沒有90%的把握認(rèn)為“高消費(fèi)”與“男女性別”有關(guān)．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查或然與必然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．