Question

16．已知一個平行六面體的各棱長都等于2，并且以頂點A為端點的各棱間的夾角都等于60°，則該平行六面體中平面ABB₁A₁與平面ABCD夾角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接對角線AC，BD，相交于點O，連接A₁B，A₁O，A₁D．由已知可得：△A₁AB，△ABD，△A₁AD，都是等邊三角形，因此△A₁BD也是等邊三角形．可得A₁O⊥BD，BD⊥平面ACC₁A₁，平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．過點A₁作A₁E⊥AC，垂足為E，則A₁E⊥平面ABCD，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接A₁F，則A₁F⊥AB，可得∠A₁FE是平行六面體中平面ABB₁A₁與平面ABCD夾角的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，
連接對角線AC，BD，相交于點O，連接A₁B，A₁O，A₁D．
底面四邊形ABCD是菱形，則BD⊥AC，點O是對角線的中點．
由已知可得：△A₁AB，△ABD，△A₁AD，都是等邊三角形，
因此△A₁BD也是等邊三角形．
∴A₁O⊥BD，AO∩A₁O=O，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又BO?平面ABCD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．
過點A₁作A₁E⊥AC，垂足為E，則A₁E⊥平面ABCD，
過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接A₁F，則A₁F⊥AB，
∴∠A₁FE是平行六面體中平面ABB₁A₁與平面ABCD夾角的平面角．
△A₁OA中，${A}_{1}O=AO=\sqrt{3}$，AA₁=2，則${A}_{1}E×\sqrt{3}$=$2×\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$，
解得A₁E=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，AE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
Rt△AEF中，EF=AEsin30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴Rt△A₁EF中，tan∠A₁FE=$\frac{{A}_{1}E}{EF}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{2}$．
∴cos∠A₁FE=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系及其空間角、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、菱形與等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．