Question

18．已知sinα-cosβ＜1，則（sinα-1）²+（cosβ+1）²的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，8]．

Answer 1

分析 利用換元法，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：設x=sinα，y=cosβ，則-1≤x≤1，-1≤y≤1，且x-y＜1，
則（sinα-1）²+（cosβ+1）²=（x-1）²+（y+1）²，
設z=（x-1）²+（y+1）²，
則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（1，-1）的距離的平方，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
則由圖象知A（-1，1）到D的距離的平方最大，此時z=（-1-1）²+（1+1）²=4+4=8，
點D到直線x-y=1的距離最小，
即d=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，此時z=d²=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜z≤8，
即（sinα-1）²+（cosβ+1）²的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，8]，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，8]．

點評 本題主要考查不等式的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．