Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+|x-t|．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值為h（t），求h（t）的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)t=1時，f（x）=x²+|x-1|，分類討論求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值為h（t），分類討論，即可求h（t）的表達式．

解答 解（Ⅰ）當(dāng)t=1時，f（x）=x²+|x-1|．
∵f（x）≥1
∴當(dāng)x≥1時，x²+x-1≥1，∴x≥1或x≤-2．
∴x≥1…3分
當(dāng)x＜1時，x²-x+1≥1，∴x≥1或x≤0．
∴x≤0…5分
綜上：不等式的解集為{x|x≥1或x≤0}…6分
（Ⅱ）∵f（x）=x²+|x-t|，x∈[0，2]
∴當(dāng)t≥2時，f（x）=x²-x+t，h（t）=f（$\frac{1}{2}$）=t-$\frac{1}{4}$…7分
∴當(dāng)t≤0時，（x）=x²+x-t，h（t）=f（0）=-t…8分
∴當(dāng)0＜t＜2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+t，x∈[0，t]}\\{{x}^{2}+x-t，x∈[t，2]}\end{array}\right.$，
∴h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t-\frac{1}{4}，\frac{1}{2}≤t＜2}\\{{t}^{2}，0＜t＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$…10分
∴h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-t，t≤0}\\{{t}^{2}，0＜t≤\frac{1}{2}}\\{t-\frac{1}{4}，t＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$…12分

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查函數(shù)的最小值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類討論是關(guān)鍵．