Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點，點M是雙曲線C左支上的一點，直線MF₂垂直雙曲線的一條漸近線于點N，且N為線段MF₂的中點，則b=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得雙曲線的a=1，設(shè)F₂（c，0），漸近線方程為y=bx，運用點到直線的距離公式可得F₂到漸近線的距離為b，再由中位線定理可得|MF₁|=2|ON|=2a，運用雙曲線的定義可得|MF₂|-|MF₁|=2a，即可得到b=2．

解答 解：雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的a=1，c=$\sqrt{1+^{2}}$，
設(shè)F₂（c，0），漸近線方程為y=bx，
F₂到漸近線的距離為$\frac{bc}{\sqrt{1+^{2}}}$=b，
由題意可得|F₂M|=2b，
即有|ON|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由中位線定理可得|MF₁|=2|ON|=2a，
由雙曲線的定義可得|MF₂|-|MF₁|=2a，
即為2b-2a=2a，即b=2a=2．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是定義法的運用和漸近線方程，同時考查點到直線的距離公式和三角形的中位線定理的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．