Question

6．設(shè)a＞0，b＞0，A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），若A，B，C三點(diǎn)共線，則$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值是（　�。�

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)題意首先求出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)向量共線的性質(zhì)得到2a+b=1，然后結(jié)合所求的式子的結(jié)構(gòu)特征利用基本不等式求出其最小值．

解答 解：由題意得：$\overrightarrow{AB}$=（a-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-b-1，2）．
又∵A、B、C三點(diǎn)共線，
∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，從而（a-1 ）×2-1×（-b-1）=0，
∴可得2a+b=1．
又∵a＞0，b＞0
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）•（2a+b）=5+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$）≥5+4=9，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量共線與點(diǎn)共線之間的關(guān)系，以及兩個(gè)向量共線時(shí)坐標(biāo)形式的運(yùn)算公式，考查基本不等式的應(yīng)用，此題得到2a+b=1是解題的關(guān)鍵．