Question

20．對(duì)于給定數(shù)列{x_n}，若存在一個(gè)常數(shù)k∈N^*，對(duì)于任意的n∈N^*，使得x_n+k=x_n成立，則稱數(shù)列{x_n}是周期數(shù)列，k是數(shù)列{x_n}的一個(gè)周期，若k是數(shù)列{x_n}的周期，且1，2，…，k-1均不是數(shù)列{x_n}的周期，則稱k為數(shù)列{x_n}的最小周期．已知數(shù)列{a_n}的最小周期為4，前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中4S_n=（a_n+1）²．令n=1可得a₁的值；
（2）根據(jù)已知中4S_n=（a_n+1）²．結(jié)合數(shù)列的周期性，可得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n；
（3）根據(jù)（2）求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為T_n的表達(dá)式，進(jìn)而可得T_n的取得最大值和最小值時(shí)n的值．

解答 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴當(dāng)n=1時(shí)，4S₁=4a₁=（a₁+1）²．
解得：a₁=1；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，4S₂=4（1+a₂）=（a₂+1）²．
解得：a₂=3，或a₂=-1；
（1）①若a₁=1，a₂=3，當(dāng)n=3時(shí)，4S₃=4（4+a₃）=（a₃+1）²．
解得：a₃=5，或a₃=-3；
②若a₁=1，a₂=-1，當(dāng)n=3時(shí)，4S₃=4a₃=（a₃+1）²．
解得：a₃=1，
（2）①若a₁=1，a₂=3，a₃=5，當(dāng)n=4時(shí)，4S₄=4（9+a₄）=（a₄+1）²．
解得：a₄=7，或a₄=-5；
②若a₁=1，a₂=3，a₃=-3，當(dāng)n=4時(shí)，4S₄=4（1+a₄）=（a₄+1）²．
解得：a₄=3，或a₄=-1；
③若a₁=1，a₂=-1，a₃=1，當(dāng)n=4時(shí)，4S₄=4（1+a₄）=（a₄+1）²．
解得：a₄=3，或a₄=-1（此時(shí)T=2，不滿足題意，故舍去）；
（3）①若a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，當(dāng)n=5時(shí)，4S₅=4（16+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=9（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去），或a₅=-7（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去）；
②若a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=-5，當(dāng)n=5時(shí)，4S₅=4（4+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=5（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去），或a₅=-3（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去）；
③若a₁=1，a₂=3，a₃=-3，a₄=3，當(dāng)n=5時(shí)，4S₅=4（4+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=5（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去），或a₅=-3（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去）；
④若a₁=1，a₂=3，a₃=-3，a₄=-1，當(dāng)n=5時(shí)，4S₅=4a₅=（a₅+1）²．
解得：a₅=1；
⑤若a₁=1，a₂=-1，a₃=1，a₄=3，當(dāng)n=5時(shí)，4S₅=4（4+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=5（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去），或a₅=-3（這與周期T=4矛盾，不滿足題意，故舍去）；
綜上可得：a₁=1，a₂=3，a₃=-3，a₄=-1，結(jié)合數(shù)列的周期性可得：
a_n=$\left\{\begin{array}{l}1，n=4k-3\\ 3，n=4k-2\\-3，n=4k-1\\-1，n=4k\end{array}\right.，（k{{∈N}_{+}）}^{\;}$，

S_n=$\left\{\begin{array}{l}1，n=4k-3\\ 4，n=4k-2\\ 1，n=4k-1\\ 0，n=4k\end{array}\right.，{（k{∈N}_{+}）}^{\;}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列求和，數(shù)列的遞推式，難度較大，屬于難題．