Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+3，g（x）=3x-1．
（1）解關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{g（x）}$≥1；
（2）是否存在實數(shù)a，使得|af（x）-x|≤1成立的充分條件是1≤x≤2，若存在求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可；
（2）結(jié)合已知條件得到$\frac{x-1}{f（x）}$＜a＜$\frac{1+x}{f（x）}$恒成立．由于當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2的最大值為3，最小值為2，將其代入可以求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2x+3，g（x）=3x-1．
∴由$\frac{f（x）}{g（x）}$≥1得到：$\frac{{x}^{2}-2x+3}{3x-1}$≥1．
∴$\frac{{x}^{2}-5x+4}{3x-1}$≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+4≥0}\\{3x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$＜x≤1或x≥4；
或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+4≤0}\\{3x-1＜0}\end{array}\right.$，
該方程組無解．
綜上所述，x的取值范圍是：（$\frac{1}{3}$，1]∪[4，+∞）．
（2）依題意知：當(dāng)1≤x≤2時，|af（x）-x|≤1恒成立，
所以當(dāng)1≤x≤2時，-1≤af（x）-x≤1恒成立，
即$\frac{x-1}{f（x）}$＜a＜$\frac{1+x}{f（x）}$恒成立
由于當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2的最大值為3，最小值為2，
因此0＜a＜$\frac{3}{2}$，
即0＜a＜$\frac{3}{2}$，
所以實數(shù)a的取值范圍（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，必要條件、充分條件與充要條件．解答該題時，需要熟悉絕對值不等式的解答方法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．