Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和S₃=9，且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n）的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

(a1+d)2=a1(a1+4d) 9=3a1+3d

，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和S₃=9，
且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，
∴

(a1+d)2=a1(a1+4d) 9=3a1+3d

，
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．