Question

在各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列{a_n}中，若a₁=1，a_n=51（其中n∈N^*），公差為d，則n+d的最小值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得（n-1）d=50，求得n+d=n+

50

n-1

，再由基本不等式，注意等號(hào)成立的條件，然后在n=1+5

2

的左右尋找最小值點(diǎn)，即可得到所求．

解答： 解：若a₁=1，a_n=51（其中n∈N^*），
則1+（n-1）d=51，
即（n-1）d=50，
則d=

50

n-1

，
n+d=n+

50

n-1

=（n-1）+

50

n-1

+1
≥2

50

+1，
當(dāng)n-1=

50

n-1

，即n=1+5

2

∈（8，9），不為整數(shù)，則等號(hào)不能成立，
當(dāng)n=8時(shí)，d=

50

7

不為整數(shù)；當(dāng)n=9時(shí)，d=

25

4

不為整數(shù)；
n=7時(shí)，d=

25

3

不為整數(shù)；
n=6時(shí)，d=10，有n+d=16；n=11時(shí)，d=5，有n+d=16．
則當(dāng)n=6或11時(shí)，n+d取得最小值，且為16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查列舉的思維方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．