Question

5．我們?cè)诟咧须A段學(xué)習(xí)了六個(gè)三角比，則函數(shù)f（θ）=|sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ|的最小值是2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)f（θ），利用換元法得出f（θ）關(guān)于t=sinθ+cosθ的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

解答 解：f（θ）=|sinθ+cosθ+tanθ+cotθ+secθ+cscθ|=|sinθ+cosθ+$\frac{sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{sinθ}+$$\frac{1}{sinθ}+\frac{1}{cosθ}$|=|sinθ+cosθ+$\frac{1}{sinθcosθ}$+$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$|
令sinθ+cosθ=t，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），∴-$\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，且t≠±1．
從而f（θ）═|t+$\frac{2}{{t}^{2}-1}$+$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$|=|t+$\frac{2}{t-1}$|=|t-1+$\frac{2}{t-1}$+1|，
令u=t-1，則f（θ）=|u+$\frac{2}{u}$+1|，u∈[-$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}-1$]且u≠0，u≠-2．
∴令g（u）=u+$\frac{2}{u}$+1，則g′（u）=1-$\frac{2}{{u}^{2}}$，
∴g（u）在[-$\sqrt{2}$-1，-2），（-2，-$\sqrt{2}$]上為增函數(shù)，在（-$\sqrt{2}$，0）上是減函數(shù)，在（0，$\sqrt{2}$-1]上是減函數(shù)，
∵g（-$\sqrt{2}$-1）=2-3$\sqrt{2}$，g（-$\sqrt{2}$）=1-2$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}-1$）=3$\sqrt{2}$+2，
∴f（θ）的最小值為|g（-$\sqrt{2}$）|=2$\sqrt{2}$-1．
故答案為：2$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．