Question

13．已知函數(shù)f（x）=x（1+m|x|），關(guān)于x的不等式f（x）＞f（x+m）的解集記為T，若區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]⊆T，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$，0）
• B． （$\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$，0）
• C． （-∞，$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$）
• D． （$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$，0）∪（0，$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$）

Answer 1

分析 由題意可得，當(dāng)m=0，顯然不滿足條件；在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，函數(shù)y=f（x-m）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方當(dāng)a=0或 a＞0時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)a＜0時(shí)，應(yīng)有f（-$\frac{1}{2}$+a）＜f（-$\frac{1}{2}$），化簡(jiǎn)可得 a²-a-1＜0，由此求得a的范圍

解答 解：f（x）=x（1+m|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{x+m{x}^{2}，x≥0}\\{x-m{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$
①若m=0，則不等式即f（x）＞f（x ），顯然不成立．
②若m＞0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+m{x}^{2}，x≥0}\\{x-m{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，在R上是增函數(shù)，如右圖所示：
由f（x）＞f（x+m），可得x＞x+m，m＜0，故m無解．
③若m＜0，函數(shù)y=f（x+m）的圖象是把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移-m個(gè)單位得到的，
由題意可得，當(dāng)x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，函數(shù)y=f（x+m）的圖象在函數(shù) y=f（x）的圖象的下方，
如下圖所示：

只要f（-$\frac{1}{2}$-m）＜f（-$\frac{1}{2}$）即可，
即m（-$\frac{1}{2}$-m）²+（-$\frac{1}{2}$-m）＜-m（-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
即 m²-m-1＜0，求得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
綜合可得，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，屬于中檔題．