Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，試討論的單調(diào)性；

（2）對任意時，都有成立，試求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)分類討論,詳見解析;(2).

【解析】

(1)對求導(dǎo)后,分,和三種情況,討論的正負(fù),進而得出單調(diào)性;

(2)不等式恒成立恒成立,因此利用研究出時的單調(diào)性,進而求出其最大值,即可得出結(jié)論.

(1),

則.

由,得或.

①當(dāng)時,,

則時,,時,,

因此在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

②當(dāng)時,(當(dāng)且僅當(dāng)時,),

因此在上單調(diào)遞減;

③當(dāng)時,,

則時,,時,,

因此函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

綜上所述:當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2)由(1)可知,

當(dāng)時,,

則時,,時,,

因此在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

故,,

因為時,,

因此.

又不等式恒成立恒成立,

而對任意,,

故k的取值范圍為.