Question

4．已知橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短軸長為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線l：y=kx+m（k≠0）與y軸的交點為A（點A不在橢圓外），且與橢圓交于兩個不同的點P，Q，PQ的中垂線恰好經(jīng)過橢圓的下端點B，且與線段PQ交于點C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短軸長為2，求出a，b，即可求橢圓的標準方程；
（2）求出PQ的中點坐標為（-$\frac{3}{2}$k，$\frac{1}{2}$），表示出△ABC面積，利用直線l：y=kx+m（k≠0）與y軸的交點為A（點A不在橢圓外），求出0≤k²≤$\frac{1}{3}$，即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短軸長為2，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線l：y=kx+m（k≠0）代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，整理可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴PQ的中點坐標為（-$\frac{3km}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$），
∵PQ的中垂線恰好經(jīng)過橢圓的下端點B，
∴-$\frac{1}{k}$=$\frac{\frac{m}{1+3{k}^{2}}+1}{-\frac{3km}{1+3{k}^{2}}}$，
∴m=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$k²，
∴PQ的中點坐標為（-$\frac{3}{2}$k，$\frac{1}{2}$），
∵l：y=kx+m（k≠0）與y軸的交點為A（點A不在橢圓外），
∴-1≤$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$k²≤1，
∴0≤k²≤$\frac{1}{3}$，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$（m+1）$•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$（1+k²）≤$\frac{1}{2}$，當且僅當k²=$\frac{1}{3}$，△ABC面積的最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．