Question

19．求下列數(shù)列{a_n}的通項公式：
（1）a₁=1，a_n+1=2a_n+1；
（2）a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$
（3）a₁=2，a_n+1=a_n²．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式得到a_n+1+1=2（a_n+1），由等比數(shù)列的定義得數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求出首項和公比，由等比數(shù)列的通項公式求出a_n；
（2）先化簡a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$后，利用兩邊同除a_na_n+1得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，由等差數(shù)列的定義得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求出首項和公差，由等差數(shù)列的通項公式求出a_n；
（3）由數(shù)列的遞推公式求出a₂，a₃，a₄，歸納出a_n，由數(shù)學歸納法證明結論成立．

解答 解：（1）由a_n+1=2a_n+1得，a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=2≠0，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ-1；
（2）由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$得，a_n+1（2+a_n）=2a_n，
∴2a_n+1+a_na_n+1=2a_n，
兩邊同除a_na_n+1得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=1，則$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項、$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（3）∵a₁=2，a_n+1=a_n²，
∴a₂=2²、
a₃=2⁴、
a₄=2⁸、…，
∴歸納出a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$，下面那個數(shù)學歸納法證明：
證明：當n=1時，a₁=2=${2}^{{2}^{0}}$，結論成立；
假設n=k時結論成立，${a}_{k}{=2}^{{2}^{k-1}}$，
當n=k+1時，${a}_{k+1}={{a}_{k}}^{2}{=（2}^{{2}^{k-1}}）^{2}$=${2}^{{2•2}^{k-1}}$=${2}^{{2}^{k+1-1}}$，
∴n=k+1時結論成立，
綜上可得，數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推公式的化簡與變形，利用等差、等比數(shù)列的定義確定等差、等比關系，以及等差、比數(shù)列的通項公式，考查了構造法，歸納法在求通項公式中的應用，考查化簡、變形能力．