Question

18．某校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，決定對畢業(yè)班的學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)測試，每個(gè)同學(xué)共有4次測試機(jī)會，若某次測試合格就不用進(jìn)行后面的測試，已知某同學(xué)每次參加測試合格的概率組成一個(gè)以$\frac{1}{8}$為公差的等差數(shù)列，若他參加第一次測試就通過的概率不足$\frac{1}{2}$，恰好參加兩次測試通過的概率為$\frac{9}{32}$．
（Ⅰ）求該同學(xué)第一次參加測試就能通過的概率；
（Ⅱ）求該同學(xué)參加測試的次數(shù)的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出該同學(xué)第一次測試合格的概率為a，根據(jù)題意列方程求出a的值；
（Ⅱ）該同學(xué)參加測試的次數(shù)ξ的可能取值是1、2、3、4，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)該同學(xué)四次測試合格的概率依次為：
a，a+$\frac{1}{8}$，a+$\frac{1}{4}$，a+$\frac{3}{8}$（a≤$\frac{1}{2}$），
則（1-a）（a+$\frac{1}{8}$）=$\frac{9}{32}$，即a²-$\frac{7}{8}$a+$\frac{5}{32}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$或a=$\frac{5}{8}$（$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$舍去），
所以小李第一次參加測試就合格的概率為$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）因?yàn)镻（ξ=1）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{32}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{8}$×$\frac{4}{8}$=$\frac{15}{64}$，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{15}{64}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{15}{64}$

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{9}{32}$+3×$\frac{15}{64}$+4×$\frac{15}{64}$=$\frac{157}{64}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望以及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．