Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若x∈（0，1]時(shí)，f′（x）=0都有解，求k的取值范圍；
（Ⅱ）若f′（1）=0，試證明：對(duì)任意x＞0，f′（x）＜$\frac{{e}^{-2}+1}{{x}^{2}+x}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到$k=\frac{1-xlnx}{x}$，令$F（x）=\frac{1-xlnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)F（x）的單調(diào)性求出k的范圍即可；
（Ⅱ）問題等價(jià)于$1-x-xlnx＜\frac{e^x}{x+1}（{{e^{-2}}+1}）$，分別令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，∞），φ（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到h（x）的最大值和φ（x）的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-k}{{e}^{x}}$，
由f′（x）=0得：
$k=\frac{1-xlnx}{x}$，令$F（x）=\frac{1-xlnx}{x}$，
∵0＜x≤1，∴$F'（x）=-\frac{x+1}{x^2}＜0$，
所以F（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
又當(dāng)x趨向于0時(shí)，F(xiàn)（x）趨向于正無(wú)窮大，
故F（x）≥1，即k≥1． 
（Ⅱ）由f′（1）=0，得k=1，令g（x）=（x²+x）f′（x），
所以$g（x）=\frac{x+1}{e^x}（{1-x-xlnx}）$，x∈（0，+∞），
因此，對(duì)任意x＞0，g（x）＜e^-2+1，
等價(jià)于$1-x-xlnx＜\frac{e^x}{x+1}（{{e^{-2}}+1}）$，
由h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，∞），
h′（x）=-2-lnx，
令h′（x）＞0，解得：x＜e^-2，令h′（x）＜0，解得：x＞e^-2，
∴h（x）在（0，e^-2）遞增，在（e^-2，+∞）遞減，
所以h（x）的最大值為h（e^-2）=e^-2+1，
故1-x-xlnx≤e^-2+1，
設(shè)φ（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，∵φ'（x）=$\frac{{xe}^{x}}{{（x+1）}^{2}}$，
所以x∈（0，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，
φ（x）單調(diào)遞增，φ（x）＞φ（0）=1，
即$\frac{{e}^{x}}{x+1}$＞1，
所以$1-x-xlnx≤{e^{-2}}+1＜\frac{e^x}{x+1}（{{e^-}^2+1}）$．
因此，對(duì)任意x＞0，$f'（x）＜\frac{{{e^{-2}}+1}}{{{x^2}+x}}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查不等式的證明、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．