Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B，虛軸的端點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，|AB|為直徑的圓上，P為該雙曲線上一點(diǎn)，若直線PB的斜率為$\sqrt{2}$，則直線PA的斜率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（a，0），b=a，設(shè)P（m，n），可得m²-n²=a²，運(yùn)用直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），
虛軸的端點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，|AB|為直徑的圓上，可得：
b=a，
設(shè)P（m，n），可得m²-n²=a²，即n²=m²-a²，
即有k_PA•k_PB=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=1，
由k_PB=$\sqrt{2}$，可得k_PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程及運(yùn)用，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程和直線的斜率公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．